Упр.28.3 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что для любого $$n\in\mathbb{N}$$: 1) $$\НОД(n;n+1)=1$$; 2) $$\НОД(2n;2n+2)=2$$.

1) Найдём наибольший общий делитель чисел $$n$$ и $$n+1$$:

$$\gcd(n, n+1)=\gcd(n, (n+1)-n)=\gcd(n, 1)=1.$$

Значит, для любого натурального $$n$$ числа $$n$$ и $$n+1$$ взаимно просты.

2) Найдём наибольший общий делитель чисел $$2n$$ и $$2n+2$$:

$$\gcd(2n, 2n+2)=\gcd(2n, (2n+2)-2n)=\gcd(2n, 2)=2.$$

Следовательно, для любого натурального $$n$$

$$\gcd(2n, 2n+2)=2.$$

Ответ

$$\gcd(n, n+1)=1,\qquad \gcd(2n, 2n+2)=2.$$