Упр.28.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 28.23. Три автомата печатают на карточках пары целых чисел. Каждый автомат, прочитав некоторую карточку, выдаёт новую карточку. Прочитав карточку с парой чисел (m;n), первый автомат выдаёт карточку с числами (m-n;n), второй — карточку с числами (m + n;n), третий — карточку с числами (n;m). Сначала есть карточка с парой чисел (46; 51). Можно ли, используя автоматы в некотором порядке, получить карточку с парой чисел (15;33)? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 merzlyak_polyakov8 28-23 827

Заметим, что каждый из автоматов сохраняет НОД чисел на карточке:

• первый автомат: $$\gcd(m-n,n)=\gcd(m,n)$$;
• второй автомат: $$\gcd(m+n,n)=\gcd(m,n)$$;
• третий автомат просто меняет числа местами, поэтому НОД тоже не меняется.

Значит, при любых преобразованиях НОД пары чисел остаётся тем же.

Для начальной карточки $$\gcd(46,51)=1,$$ а для требуемой карточки $$\gcd(15,33)=3.$$

Так как НОД должен сохраняться, получить карточку с парой чисел $$ (15;33) $$ невозможно.

Ответ

Нельзя.