Упр.28.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Три автомата печатают на карточках пары целых чисел. Каждый автомат, прочитав некоторую карточку, выдаёт новую карточку. Прочитав карточку с парой чисел $$(m;n)$$, первый автомат выдаёт карточку с числами $$(m-n;n)$$, второй — карточку с числами $$(m+n;n)$$, третий — карточку с числами $$(n;m)$$. Сначала есть карточка с парой чисел $$(46;51)$$. Можно ли, используя автоматы в некотором порядке, получить карточку с парой чисел $$(15;33)$$?

Заметим, что каждый из автоматов сохраняет НОД чисел на карточке:

• первый автомат: $$\gcd(m-n,n)=\gcd(m,n)$$;
• второй автомат: $$\gcd(m+n,n)=\gcd(m,n)$$;
• третий автомат просто меняет числа местами, поэтому НОД тоже не меняется.

Значит, при любых преобразованиях НОД пары чисел остаётся тем же.

Для начальной карточки $$\gcd(46,51)=1,$$ а для требуемой карточки $$\gcd(15,33)=3.$$

Так как НОД должен сохраняться, получить карточку с парой чисел $$(15;33)$$ невозможно.

Ответ

Нельзя.