Упр.28.22 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 28.22. Найдите все пары натуральных чисел m и n таких, что НОК (m;n)-НОД (m;n)=mn/3.

Обозначим $$\gcd(m,n)=y,$$ $$\operatorname{lcm}(m,n)=x.$$ Тогда для натуральных чисел $$xy=mn.$$ По условию

$$x-y=\frac{mn}{3}=\frac{xy}{3}.$$

Умножим на $$3$$:

$$3x-3y=xy.$$

Перенесём и вынесем общий множитель:

$$3x-xy=3y,$$

$$x(3-y)=3y,$$

$$x=\frac{3y}{3-y}.$$

Так как $$x>0,$$ то должно быть $$3-y>0,$$ значит $$y<3.$$ Поскольку $$y$$ — натуральное число, получаем только два случая:

$$y=1 \quad \text{или} \quad y=2.$$

1) Если $$y=1,$$ то

$$x=\frac{3\cdot 1}{3-1}=\frac{3}{2},$$

что не является натуральным числом.

2) Если $$y=2,$$ то

$$x=\frac{3\cdot 2}{3-2}=6.$$

Тогда

$$mn=xy=6\cdot 2=12.$$

При $$\gcd(m,n)=2$$ и $$\operatorname{lcm}(m,n)=6$$ подходят пары чисел $$m=2,\ n=6$$ и $$m=6,\ n=2.$$

Ответ

$$m=2,\ n=6$$ или $$m=6,\ n=2.$$