Упр.28.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 28.21. Докажите, что при любом n?N дробь (n^4+4n^2+3)/(n^4+6n^2+8) несократима.

Подробный ответ

Преобразуем дробь:

$$ \frac{n^4+4n^2+3}{n^4+6n^2+8} = \frac{(n^2+1)(n^2+3)}{(n^2+2)(n^2+4)}. $$

Найдём возможные общие делители числителя и знаменателя.

$$ \gcd(n^2+1,\;n^2+2)=\gcd(n^2+1,\;1)=1, $$
$$ \gcd(n^2+3,\;n^2+2)=\gcd(1,\;n^2+2)=1, $$
$$ \gcd(n^2+3,\;n^2+4)=\gcd(n^2+3,\;1)=1. $$

Остаётся проверить пару $$n^2+1$$ и $$n^2+4$$:

$$ \gcd(n^2+1,\;n^2+4)=\gcd(n^2+1,\;3). $$

Если $$n^2 \equiv 0 \pmod 3,$$ то $$n^2+1 \equiv 1 \pmod 3.$$
Если $$n^2 \equiv 1 \pmod 3,$$ то $$n^2+1 \equiv 2 \pmod 3.$$

Значит, $$n^2+1$$ не делится на $$3$$, поэтому

$$ \gcd(n^2+1,\;n^2+4)=1. $$

Следовательно, у числителя и знаменателя нет общих делителей, больших $$1$$, значит, дробь несократима при любом $$n \in \mathbb{N}$$.