Упр.28.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 28.20. Решите в натуральных числах уравнение x(y+1)^2=243y.

Рассмотрим уравнение:

$$x(y+1)^2=243y.$$

Так как левая часть делится на $$y+1$$, то и правая часть должна делиться на $$y+1$$. Числа $$y$$ и $$y+1$$ — два последовательных числа, значит, они взаимно просты. Следовательно, $$y+1$$ должно делить число $$243$$.

Разложим:

$$243=3^5.$$

Тогда возможны значения:

$$y+1=1,\ 3,\ 9,\ 27,\ 81,\ 243.$$

Так как $$y$$ — натуральное число, получаем:

$$y=2,\ 8,\ 26,\ 80,\ 242.$$

Проверим, при каких из них $$x$$ будет натуральным.

1) Если $$y=2$$, то

$$x(2+1)^2=243\cdot 2$$

$$9x=486$$

$$x=54.$$

2) Если $$y=8$$, то

$$x(8+1)^2=243\cdot 8$$

$$81x=1944$$

$$x=24.$$

3) Если $$y=26$$, то

$$x\cdot 27^2=243\cdot 26$$

$$729x=6318,$$

откуда $$x$$ не является натуральным.

4) Если $$y=80$$, то

$$x\cdot 81^2=243\cdot 80,$$

откуда $$x$$ не является натуральным.

5) Если $$y=242$$, то

$$x\cdot 243^2=243\cdot 242,$$

откуда $$x$$ не является натуральным.

Подходят только пары $$\left(54;2\right)$$ и $$\left(24;8\right)$$.

Ответ

$$\left(54;2\right),\ \left(24;8\right).$$