Упр.28.19 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Наименьшее общее кратное некоторых двух натуральных чисел в 27 раз больше их наибольшего общего делителя. Докажите, что одно из этих чисел кратно другому.

Пусть $$d=\gcd(a,b)$$. Тогда числа можно представить в виде

$$a=d\cdot m,\qquad b=d\cdot n,$$

где $$m$$ и $$n$$ — взаимно простые натуральные числа.

По условию

$$\operatorname{lcm}(a,b)=27\cdot \gcd(a,b).$$

Но для любых натуральных чисел

$$\operatorname{lcm}(a,b)\cdot \gcd(a,b)=ab.$$

Подставим условие:

$$27d\cdot d=ab.$$

С другой стороны,

$$ab=(dm)(dn)=d^2mn.$$

Значит,

$$d^2mn=27d^2,$$

откуда

$$mn=27=3^3.$$

Так как $$m$$ и $$n$$ взаимно просты, а их произведение равно $$3^3$$, то одно из чисел равно $$1$$, а другое равно $$27$$, либо одно равно $$3$$, а другое равно $$9$$. В любом случае одно из чисел делится на другое.

Следовательно, одно из данных натуральных чисел кратно другому.

Ответ

Одно из чисел кратно другому.