Упр.28.18 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 28.18. Наименьшее общее кратное некоторых двух натуральных чисел в 16 раз больше их наибольшего общего делителя. Докажите, что одно из этих чисел кратно другому. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 merzlyak_polyakov8 28-18 827

Подробный ответ

Обозначим $$d=\gcd(a,b).$$ Тогда можно записать

$$a=dm,\qquad b=dn,$$

где $$\gcd(m,n)=1.$$

По условию

$$\operatorname{lcm}(a,b)=16\cdot \gcd(a,b),$$

то есть

$$\operatorname{lcm}(a,b)=16d.$$

Но для любых натуральных чисел $$a$$ и $$b$$

$$ab=\gcd(a,b)\cdot \operatorname{lcm}(a,b).$$

Подставим найденные выражения:

$$dm\cdot dn=d\cdot 16d,$$

откуда

$$mn=16.$$

Так как $$\gcd(m,n)=1$$ и $$mn=16=2^4,$$ то числа $$m$$ и $$n$$ — взаимно простые делители числа $$16.$$ Значит, одно из них равно $$1$$, а другое равно $$16$$.

Следовательно, либо $$a=d,\ b=16d,$$ либо $$a=16d,\ b=d.$$ В обоих случаях одно число кратно другому.