Упр.28.17 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 28.17. Из 100 последовательных натуральных чисел выбрали 51 число. Докажите, что среди выбранных чисел есть такие числа а и b, что НОД (а;b) = 1. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 merzlyak_polyakov8 28-17 827

Среди $$100$$ последовательных натуральных чисел можно разбить числа на пары соседних:

$$ (1,2),\ (3,4),\ (5,6),\ \ldots,\ (99,100). $$

Таких пар всего $$50$$. Если выбрать $$51$$ число, то по принципу Дирихле хотя бы в одной паре окажутся выбраны оба числа. Значит, среди выбранных чисел есть два последовательных числа $$a$$ и $$b$$.

НОД двух последовательных натуральных чисел равен $$1$$, то есть

$$ \gcd(a,b)=1. $$

Ответ

Среди выбранных чисел обязательно найдутся два последовательных числа, а значит, найдутся такие $$a$$ и $$b$$, что $$\gcd(a,b)=1$$.