Упр.28.17 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Из 100 последовательных натуральных чисел выбрали 51 число. Докажите, что среди выбранных чисел есть такие числа $$a$$ и $$b$$, что $$\operatorname{НОД}(a;b)=1$$.

Среди $$100$$ последовательных натуральных чисел можно разбить числа на пары соседних:

$$(1,2),\ (3,4),\ (5,6),\ \ldots,\ (99,100).$$

Таких пар всего $$50$$. Если выбрать $$51$$ число, то по принципу Дирихле хотя бы в одной паре окажутся выбраны оба числа. Значит, среди выбранных чисел есть два последовательных числа $$a$$ и $$b$$.

НОД двух последовательных натуральных чисел равен $$1$$, то есть

$$\gcd(a,b)=1.$$

Ответ

Среди выбранных чисел обязательно найдутся два последовательных числа, а значит, найдутся такие $$a$$ и $$b$$, что $$\gcd(a,b)=1$$.