Упр.28.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что значение выражения является целым числом при любом $$n \in \mathbb{Z}$$: 1) $$\frac{n^3+5n}{6}$$; 2) $$\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$$; 3) $$\frac{(n^2-1)(n^2+2n)}{24}$$.

1. $$\frac{n^3+5n}{6}=\frac{n^3-n+6n}{6}=\frac{n(n^2-1)+6n}{6}=\frac{(n-1)n(n+1)+6n}{6}.$$

   Числа $$n-1$$, $$n$$, $$n+1$$ — три последовательных целых числа, значит, одно из них делится на $$2$$, а одно — на $$3$$. Следовательно, произведение $$(n-1)n(n+1)$$ делится на $$6$$. Тогда и всё выражение делится на $$6$$, значит, является целым числом.

2. $$\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}.$$

   Среди чисел $$n$$ и $$n+2$$ одно чётное, поэтому произведение $$n(n+2)$$ делится на $$2$$. Кроме того, среди трёх последовательных чисел $$n$$, $$n+1$$, $$n+2$$ одно делится на $$3$$. Если $$n+1$$ чётное, то $$(n+1)^2$$ делится на $$4$$; если чётно одно из чисел $$n$$ или $$n+2$$, то произведение $$n(n+2)$$ делится на $$4$$. Значит, всё произведение делится на $$3\cdot 4=12$$.

   Следовательно, $$\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$$ — целое число при любом целом $$n$$.

3. $$\frac{(n^2-1)(n^2+2n)}{24}=\frac{(n-1)(n+1)n(n+2)}{24}.$$

   Это произведение четырёх последовательных целых чисел $$n-1$$, $$n$$, $$n+1$$, $$n+2$$. Среди них одно число делится на $$2$$, одно — на $$3$$, а одно — на $$4$$. Значит, произведение делится на $$2\cdot 3\cdot 4=24$$.

   Следовательно, $$\frac{(n^2-1)(n^2+2n)}{24}$$ — целое число при любом целом $$n$$.

Ответ

Во всех трёх случаях значение выражения является целым числом при любом $$n\in \mathbb{Z}$$.