Упр.28.14 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) n(n+1)(n+2)(n+3)/24; 2) (n^5-5n^3+4n)/120.

Подробный ответ

1) Рассмотрим выражение $$\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}.$$

Числа $$n,\; n+1,\; n+2,\; n+3$$ — четыре последовательных целых числа. Среди них обязательно есть:

одно чётное число, кратное $$2$$;
одно число, кратное $$3$$;
одно число, кратное $$4$$.

Значит, произведение $$n(n+1)(n+2)(n+3)$$ делится на $$2\cdot 3\cdot 4=24$$. Следовательно,

$$\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}$$

при любом целом $$n$$ является целым числом.

2) Рассмотрим выражение $$\frac{n^5-5n^3+4n}{120}.$$

Вынесем $$n$$ за скобки:

$$\frac{n(n^4-5n^2+4)}{120}.$$

Разложим многочлен $$n^4-5n^2+4$$ на множители. Пусть $$t=n^2$$, тогда

$$t^2-5t+4=0,$$

откуда

$$t=1 \text{ или } t=4.$$

Следовательно,

$$n^4-5n^2+4=(n^2-1)(n^2-4)=(n-1)(n+1)(n-2)(n+2).$$

Тогда

$$\frac{n^5-5n^3+4n}{120}=\frac{(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)}{120}.$$

Это произведение пяти последовательных целых чисел. Среди них обязательно есть число, кратное $$2$$, число, кратное $$3$$, число, кратное $$4$$, и число, кратное $$5$$. Значит, произведение делится на

$$2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120.$$

Следовательно, и это выражение при любом целом $$n$$ является целым числом.