Упр.28.13 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) a+b+c+a^2+b^2+c^2=1001; 2) a^3+b^3+c^3-a-b-c=1004?

Подробный ответ

1) Преобразуем левую часть:

$$ a+b+c+a^2+b^2+c^2=(a+a^2)+(b+b^2)+(c+c^2)=a(a+1)+b(b+1)+c(c+1). $$

Числа $$a$$ и $$a+1$$ — соседние целые, значит одно из них чётное. Следовательно, $$a(a+1)$$ — чётное число. Аналогично, чётными являются $$b(b+1)$$ и $$c(c+1)$$.

Тогда вся левая часть — чётное число, а правая часть равна $$1001$$, то есть нечётна. Противоречие.

Значит, таких целых чисел $$a, b, c$$ не существует.

2) Преобразуем выражение:

$$ a^3+b^3+c^3-a-b-c=(a^3-a)+(b^3-b)+(c^3-c). $$

Разложим на множители:

$$ a^3-a=a(a-1)(a+1), \quad b^3-b=b(b-1)(b+1), \quad c^3-c=c(c-1)(c+1). $$

Произведение трёх последовательных целых чисел делится на $$6$$, значит каждое из выражений $$a(a-1)(a+1)$$, $$b(b-1)(b+1)$$ и $$c(c-1)(c+1)$$ кратно $$6$$.

Следовательно, их сумма тоже кратна $$6$$. Но число $$1004$$ на $$6$$ не делится. Получаем противоречие.

Значит, таких целых чисел $$a, b, c$$ не существует.