Упр.28.11 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) n^2+n кратно 2; 2) n^3+3n^2+2n кратно 6; 3) n^4-n^2 кратно 12.

Подробный ответ

1) $$n^2+n=n(n+1).$$

Это произведение двух последовательных целых чисел, значит, одно из них чётное. Следовательно, $$n(n+1)$$ кратно $$2$$, то есть $$n^2+n$$ кратно $$2$$.

2) $$n^3+3n^2+2n=n(n^2+3n+2)=n(n+1)(n+2).$$

Это произведение трёх последовательных целых чисел. Среди них одно делится на $$3$$, а одно — на $$2$$. Значит, произведение делится на $$2\cdot 3=6$$. Следовательно, $$n^3+3n^2+2n$$ кратно $$6$$.

3) $$n^4-n^2=n^2(n^2-1)=n^2(n-1)(n+1).$$

Числа $$n-1$$, $$n$$, $$n+1$$ — последовательные. Поэтому одно из чисел $$n-1$$ и $$n+1$$ делится на $$2$$, а одно из чисел $$n-1$$, $$n$$, $$n+1$$ делится на $$3$$.

Если $$n$$ чётное, то $$n^2$$ кратно $$4$$. Если $$n$$ нечётное, то $$n-1$$ и $$n+1$$ чётные, значит, $$ (n-1)(n+1) $$ кратно $$4$$. В любом случае выражение $$n^2(n-1)(n+1)$$ кратно $$3\cdot 4=12$$.

Значит, $$n^4-n^2$$ кратно $$12$$.