Упр.28.10 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Докажите, что при любом $$n\in\mathbb{N}$$ дробь является несократимой:

1. $$\frac{3n+1}{15n+14}$$;
2. $$\frac{16n+1}{40n+2}$$.

1) Найдём НОД числителя и знаменателя:

$$\gcd(3n+1,\,15n+14)=\gcd(3n+1,\,15n+14-5(3n+1))$$
$$=\gcd(3n+1,\,9).$$

Число $$3n+1$$ при любом натуральном $$n$$ не делится на $$9$$, так как при делении на $$3$$ даёт остаток $$1$$. Значит, общий делитель числителя и знаменателя равен $$1$$.

Следовательно, дробь $$\frac{3n+1}{15n+14}$$ несократима.

2) Аналогично:

$$\gcd(16n+1,\,40n+2)=\gcd(16n+1,\,40n+2-2(16n+1))$$
$$=\gcd(16n+1,\,8n)$$
$$=\gcd(16n+1-2\cdot 8n,\,8n)=\gcd(1,\,8n)=1.$$

Значит, числа $$16n+1$$ и $$40n+2$$ взаимно просты, поэтому дробь $$\frac{16n+1}{40n+2}$$ несократима.

Ответ

Обе дроби при любом $$n\in \mathbb{N}$$ несократимы.