Упр.27.47 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 27.47. Докажите, что среди натуральных степеней числа 2 существуют две такие, что их разность кратна числу 1001.

Подробный ответ

Рассмотрим числа $$2,\,2^2,\,2^3,\,\ldots,\,2^{1002}.$$

При делении каждого из них на $$1001$$ возможны только $$1001$$ различных остатков: $$0,1,2,\ldots,1000.$$

Но чисел у нас $$1002$$, значит, по принципу Дирихле среди них найдутся два числа с одинаковыми остатками при делении на $$1001$$. Пусть это $$2^n$$ и $$2^m$$, где $$n \ne m$$.

Тогда

$$2^n = 1001a + c,\qquad 2^m = 1001b + c,$$

где $$a$$ и $$b$$ — целые числа, а $$c$$ — один и тот же остаток.

Вычтем одно равенство из другого:

$$ 2^n — 2^m = (1001a + c) — (1001b + c) = 1001(a-b). $$

Следовательно, разность $$2^n — 2^m$$ кратна числу $$1001$$.