Упр.27.46 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 27.46. Докажите, что для любого натурального числа n найдется натуральное число, кратное n, в десятичной записи которого используются только цифры 1 и 0.

Подробный ответ

Рассмотрим числа

$$1,\ 11,\ 111,\ \ldots,\ \underbrace{11\ldots1}_{n+1\ \text{единица}}.$$

При делении этих чисел на $$n$$ возможны только $$n$$ различных остатков: $$0,1,2,\ldots,n-1$$.

Если хотя бы одно из чисел уже делится на $$n$$, то требуемое число найдено.

Если же ни одно из первых $$n$$ чисел не делится на $$n$$, то среди них есть два числа с одинаковыми остатками при делении на $$n$$. Пусть это числа

$$\underbrace{11\ldots1}_{k\ \text{единиц}} \quad \text{и} \quad \underbrace{11\ldots1}_{m\ \text{единиц}}, \qquad k>m.$$

Тогда их разность делится на $$n$$:

$$\underbrace{11\ldots1}_{k\ \text{единиц}}-\underbrace{11\ldots1}_{m\ \text{единиц}}.$$

Эта разность имеет вид числа, составленного только из цифр $$1$$ и $$0$$: сначала идут $$k-m$$ единиц, затем $$m$$ нулей. Значит, существует натуральное число, кратное $$n$$, в десятичной записи которого используются только цифры $$1$$ и $$0$$.