Упр.27.45 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, которые невозможно представить в виде суммы кубов трех натуральных чисел.

Рассмотрим остатки кубов натуральных чисел при делении на $$9$$. Для любого натурального числа $$n$$ возможны только три случая:

$$n^3 \equiv 0 \pmod 9,\quad n^3 \equiv 1 \pmod 9,\quad n^3 \equiv 8 \pmod 9.$$

Значит, сумма трёх кубов может давать по модулю $$9$$ только такие остатки:

$$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 7,\ 8.$$

Следовательно, остатки $$4$$ и $$5$$ по модулю $$9$$ получить нельзя. То есть числа вида

$$9k+4 \quad \text{и} \quad 9k+5$$

не представимы в виде суммы кубов трёх натуральных чисел.

Таких чисел бесконечно много, так как при любом натуральном $$k$$ получаем новое число.

Ответ

Бесконечно много: все числа вида $$9k+4$$ и $$9k+5$$, где $$k \in \mathbb{N}$$, нельзя представить в виде суммы кубов трёх натуральных чисел.