Упр.27.44 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 27.44. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, которые невозможно представить в виде суммы кубов двух натуральных чисел.

Рассмотрим остатки кубов натуральных чисел при делении на $$7$$. Из предыдущего задания известно, что любой куб даёт только один из остатков:

$$n^3 \equiv 0,\,1,\,6 \pmod{7}.$$

Тогда сумма двух кубов может иметь только такие остатки по модулю $$7$$:

$$ \begin{aligned} 0+0 &\equiv 0 \pmod{7},\\ 0+1 &\equiv 1 \pmod{7},\\ 1+1 &\equiv 2 \pmod{7},\\ 0+6 &\equiv 6 \pmod{7},\\ 1+6 &\equiv 0 \pmod{7},\\ 6+6 &\equiv 5 \pmod{7}. \end{aligned} $$

Значит, сумма двух кубов не может давать остатки $$3$$ и $$4$$ при делении на $$7$$.

Следовательно, ни одно натуральное число вида $$7a+3$$ или $$7a+4$$ не представимо в виде суммы кубов двух натуральных чисел.

Таких чисел бесконечно много, например:

$$3,\,4,\,10,\,11,\,17,\,18,\dots$$

Ответ

Существует бесконечно много натуральных чисел, которые нельзя представить в виде суммы кубов двух натуральных чисел; это, например, все числа вида $$7a+3$$ и $$7a+4$$.