Упр.27.43 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 27.43. При делении натурального числа n на 26 остаток равен неполному частному, при делении n на 29 остаток также равен неполному частному. Найдите все возможные значения n.

Пусть при делении числа $$n$$ на $$26$$ неполное частное равно $$m_1$$, а остаток тоже равен $$m_1$$. Тогда

$$n=26m_1+m_1=27m_1, \qquad m_1<26,$$

то есть $$m_1 \le 25$$.

Аналогично, при делении $$n$$ на $$29$$ неполное частное равно $$m_2$$, а остаток тоже равен $$m_2$$. Тогда

$$n=29m_2+m_2=30m_2, \qquad m_2<29,$$

то есть $$m_2 \le 28$$.

Так как оба выражения равны $$n$$, получаем:

$$27m_1=30m_2.$$

Разделим на $$3$$:

$$9m_1=10m_2.$$

Отсюда $$m_1$$ кратно $$10$$, а $$m_2$$ кратно $$9$$. С учётом ограничений получаем возможные значения:

$$m_2=9 \Rightarrow m_1=10,$$

$$m_2=18 \Rightarrow m_1=20.$$

При $$m_2=27$$ получаем $$m_1=30$$, но это не подходит, так как $$m_1 \le 25$$.

Тогда

$$n=27\cdot 10=270,$$

$$n=27\cdot 20=540.$$

Ответ

$$270,\ 540$$