Упр.27.40 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 27.40. Остаток при делении трехзначного числа n=?aa5 на некоторое однозначное число равен 8. Найдите число n.

Пусть число имеет вид $$n=\overline{aa5}.$$ Тогда

$$n=100a+10a+5=110a+5.$$

По условию при делении на однозначное число остаток равен $$8$$. Значит, делитель больше $$8$$ и меньше $$10$$, то есть

$$m=9.$$

Тогда

$$110a+5 \equiv 8 \pmod 9,$$

откуда

$$110a \equiv 3 \pmod 9.$$

Так как $$110 \equiv 2 \pmod 9,$$ получаем

$$2a \equiv 3 \pmod 9.$$

Проверим возможные цифры $$a$$:

$$a=1 \Rightarrow 2a \equiv 2 \pmod 9,$$

$$a=2 \Rightarrow 2a \equiv 4 \pmod 9,$$

$$a=3 \Rightarrow 2a \equiv 6 \pmod 9,$$

$$a=4 \Rightarrow 2a \equiv 8 \pmod 9,$$

$$a=5 \Rightarrow 2a \equiv 1 \pmod 9,$$

$$a=6 \Rightarrow 2a \equiv 3 \pmod 9.$$

Значит, $$a=6$$, и тогда

$$n=\overline{665}.$$

Ответ

$$665$$