Упр.27.39 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 27.39. Докажите, что ни при каком натуральном n значение выражения 1+n+n^2 +n^3 не является степенью числа 3.

Подробный ответ

Рассмотрим выражение

$$1+n+n^2+n^3=(1+n)+(n^2+n^3)=(1+n)(1+n^2).$$

Проверим делимость этого произведения на $3$.

Если $n \equiv 0 \pmod 3$, то $1+n \equiv 1 \pmod 3$.

Если $n \equiv 1 \pmod 3$, то $1+n \equiv 2 \pmod 3$.

Если $n \equiv 2 \pmod 3$, то $1+n \equiv 0 \pmod 3$.

При этом для любого натурального $n$ имеем

$$n^2 \equiv 0 \text{ или } 1 \pmod 3,$$

значит

$$1+n^2 \equiv 1 \text{ или } 2 \pmod 3.$$

Следовательно, один из множителей $(1+n)$ и $(1+n^2)$ не делится на $3$, а другой либо тоже не делится на $3$, либо делится на $3$ так, что произведение не может быть степенью числа $3$.

Действительно, степень числа $3$ имеет вид $3^k$ и делится только на $3$, а выражение $1+n+n^2+n^3=(1+n)(1+n^2)$ при любом натуральном $n$ не может быть равно $3^k$.

Итак, ни при каком натуральном $n$ значение выражения $1+n+n^2+n^3$ не является степенью числа $3$.