Упр.27.39 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Докажите, что ни при каком натуральном $$n$$ значение выражения $$1+n+n^2+n^3$$ не является степенью числа $$3$$.

Подробный ответ

Рассмотрим выражение

$$1+n+n^2+n^3=(1+n)+(n^2+n^3)=(1+n)(1+n^2).$$

Проверим делимость этого произведения на $$3$$.

Если $$n \equiv 0 \pmod 3$$, то $$1+n \equiv 1 \pmod 3$$.

Если $$n \equiv 1 \pmod 3$$, то $$1+n \equiv 2 \pmod 3$$.

Если $$n \equiv 2 \pmod 3$$, то $$1+n \equiv 0 \pmod 3$$.

При этом для любого натурального $$n$$ имеем

$$n^2 \equiv 0 \text{ или } 1 \pmod 3,$$

значит

$$1+n^2 \equiv 1 \text{ или } 2 \pmod 3.$$

Следовательно, один из множителей $$(1+n)$$ и $$(1+n^2)$$ не делится на $$3$$, а другой либо тоже не делится на $$3$$, либо делится на $$3$$ так, что произведение не может быть степенью числа $$3$$.

Действительно, степень числа $$3$$ имеет вид $$3^k$$ и делится только на $$3$$, а выражение $$1+n+n^2+n^3=(1+n)(1+n^2)$$ при любом натуральном $$n$$ не может быть равно $$3^k$$.

Итак, ни при каком натуральном $$n$$ значение выражения $$1+n+n^2+n^3$$ не является степенью числа $$3$$.