Упр.27.38 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Числа $$x_1, x_2, \ldots, x_k$$ не делятся нацело на 5, а значение выражения $$x_1^4+x_2^4+\ldots+x_k^4$$ кратно 5. Докажите, что $$k \ ? \ 5$$.

Так как число $$x_i$$ не делится нацело на $$5$$, то его остаток при делении на $$5$$ равен $$1, 2, 3$$ или $$4$$. Тогда для любого такого числа

$$x_i^4 \equiv 1 \pmod{5}.$$

Следовательно,

$$x_1^4+x_2^4+\dots+x_k^4 \equiv 1+1+\dots+1 \equiv k \pmod{5}.$$

По условию сумма $$x_1^4+x_2^4+\dots+x_k^4$$ кратна $$5$$, значит,

$$k \equiv 0 \pmod{5}.$$

Следовательно, $$k$$ делится на $$5$$.

Ответ

$$k \text{ делится на } 5.$$