Упр.27.38 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 27.38. Числа x_1, x_2, …, x_k не делятся нацело на 5, а значение выражения x_1^4 +x_2^4 +…+x_k^4 кратно 5. Докажите, что k ? 5.

Так как число $$x_i$$ не делится нацело на $$5$$, то его остаток при делении на $$5$$ равен $$1, 2, 3$$ или $$4$$. Тогда для любого такого числа

$$x_i^4 \equiv 1 \pmod{5}.$$

Следовательно,

$$x_1^4+x_2^4+\dots+x_k^4 \equiv 1+1+\dots+1 \equiv k \pmod{5}.$$

По условию сумма $$x_1^4+x_2^4+\dots+x_k^4$$ кратна $$5$$, значит,

$$k \equiv 0 \pmod{5}.$$

Следовательно, $$k$$ делится на $$5$$.

Ответ

$$k \text{ делится на } 5.$$