Упр.27.37 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 27.37. о числах m, n, p, q, r, s известно, что m^2 +n^2 +p^2 +q^2 +r^2 = s^2. Докажите, что хотя бы одно из этих чисел четное.

Подробный ответ

Предположим, что все числа $$m, n, p, q, r, s$$ нечётные. Тогда квадрат любого нечётного числа при делении на $$8$$ даёт остаток $$1$$, то есть

$$m^2 \equiv n^2 \equiv p^2 \equiv q^2 \equiv r^2 \equiv s^2 \equiv 1 \pmod{8}.$$

Тогда левая часть равенства

$$m^2+n^2+p^2+q^2+r^2$$

даёт остаток

$$1+1+1+1+1=5 \pmod{8},$$

значит,

$$s^2 \equiv 5 \pmod{8}.$$

Но квадрат целого числа не может давать остаток $$5$$ при делении на $$8$$: если число чётное, его квадрат делится на $$4$$, а если нечётное, то $$\equiv 1 \pmod{8}$$. Получили противоречие.

Следовательно, не все числа $$m, n, p, q, r, s$$ могут быть нечётными, то есть среди них есть хотя бы одно чётное.