Упр.27.36 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Докажите, что среди чисел вида $$5^n+5^m$$ ($$m$$ и $$n$$ — натуральные числа) нет ни одного квадрата натурального числа.

Так как $$5 \equiv 1 \pmod{4},$$ то для любых натуральных $$m$$ и $$n$$ имеем

$$5^n \equiv 1^n \equiv 1 \pmod{4}, \qquad 5^m \equiv 1^m \equiv 1 \pmod{4}.$$

Тогда

$$5^n+5^m \equiv 1+1 \equiv 2 \pmod{4}.$$

Но квадрат натурального числа по модулю $$4$$ может давать только остатки $$0$$ или $$1$$:

$$x^2 \equiv 0 \pmod{4} \quad \text{или} \quad x^2 \equiv 1 \pmod{4}.$$

Следовательно, число вида $$5^n+5^m$$ не может быть квадратом натурального числа.

Ответ

Среди чисел вида $$5^n+5^m$$, где $$m$$ и $$n$$ — натуральные числа, нет ни одного квадрата натурального числа.