Упр.27.35 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 27.35. Докажите, что среди чисел вида 4^n +4^m (m и n — натуральные числа) нет ни одного кадрата натурального числа.

Рассмотрим число $$4^n+4^m,$$ где $$m$$ и $$n$$ — натуральные числа.

Так как $$4 \equiv 1 \pmod 3,$$ то для любых натуральных $$m$$ и $$n$$ имеем:

$$4^n \equiv 1^n \equiv 1 \pmod 3,$$
$$4^m \equiv 1^m \equiv 1 \pmod 3.$$

Тогда

$$4^n+4^m \equiv 1+1 \equiv 2 \pmod 3.$$

Предположим, что это число является квадратом натурального числа:

$$4^n+4^m=x^2.$$

Но квадрат натурального числа по модулю $$3$$ может давать только остатки $$0$$ или $$1$$, то есть

$$x^2 \equiv 0 \pmod 3 \quad \text{или} \quad x^2 \equiv 1 \pmod 3.$$

Получили противоречие, так как $$4^n+4^m \equiv 2 \pmod 3.$$ Значит, среди чисел вида $$4^n+4^m$$ нет ни одного квадрата натурального числа.

Ответ

Среди чисел вида $$4^n+4^m$$ нет ни одного квадрата натурального числа.