Упр.27.33 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) m=?11?^43,n=7;
2) m=?13?^52,n=17;
3) m=3^30,n=31.

1. $$11^{43} \equiv x \pmod 7,\quad 0 \le x < 7.$$

   Так как $$11 \equiv 4 \pmod 7,$$ то

   $$11^2 \equiv 4^2 = 16 \equiv 2 \pmod 7,$$

   $$11^3 \equiv 11^2 \cdot 11 \equiv 2 \cdot 4 = 8 \equiv 1 \pmod 7.$$

   Тогда

   $$11^{43} = 11^{42}\cdot 11 = (11^3)^{14}\cdot 11 \equiv 1^{14}\cdot 4 \equiv 4 \pmod 7.$$

   Значит, остаток равен $$4$$.

2. $$13^{52} \equiv x \pmod {17},\quad 0 \le x < 17.$$

   Найдём степень, дающую остаток $$1$$:

   $$13^2 = 169 \equiv -1 \pmod {17},$$

   значит,

   $$13^4 \equiv (-1)^2 = 1 \pmod {17}.$$

   Тогда

   $$13^{52} = (13^4)^{13} \equiv 1^{13} \equiv 1 \pmod {17}.$$

   Следовательно, остаток равен $$1$$.

3. $$3^{30} \equiv x \pmod {31},\quad 0 \le x < 31.$$

   Заметим, что

   $$3^3 = 27 \equiv -4 \pmod {31}.$$

   Тогда

   $$3^{30} = (3^3)^{10} \equiv (-4)^{10} = 4^{10} \pmod {31}.$$

   Далее:

   $$4^2 = 16,\quad 4^4 = 16^2 = 256 \equiv 8 \pmod {31},$$

   $$4^8 \equiv 8^2 = 64 \equiv 2 \pmod {31},$$

   $$4^{10} = 4^8 \cdot 4^2 \equiv 2 \cdot 16 = 32 \equiv 1 \pmod {31}.$$

   Значит, остаток равен $$1$$.

Ответ

1) $$4$$; 2) $$1$$; 3) $$1$$.