Упр.27.32 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) a=5^99,b=3; 2) a=7^36,b=4;
3) a=3^101,b=7; 4) a=3^70+2^52,b=5.

1. $$5^{99} \equiv (5^2)^{49}\cdot 5 \pmod 3.$$

   Так как $$5 \equiv 2 \pmod 3,$$ то $$5^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod 3.$$

   Следовательно, $$5^{99} \equiv 1^{49}\cdot 2 \equiv 2 \pmod 3,$$ значит, остаток равен $$2$$.

2. $$7^{36} \equiv (7^2)^{18} \pmod 4.$$

   Так как $$7 \equiv 3 \pmod 4,$$ то $$7^2 \equiv 9 \equiv 1 \pmod 4.$$

   Тогда $$7^{36} \equiv 1^{18} \equiv 1 \pmod 4,$$ значит, остаток равен $$1$$.

3. $$3^3=27 \equiv -1 \pmod 7.$$

   Тогда

   $$3^{101}=3^{99}\cdot 3^2=(3^3)^{33}\cdot 3^2 \equiv (-1)^{33}\cdot 9 \equiv -9 \equiv 5 \pmod 7.$$

   Следовательно, остаток равен $$5$$.

4. $$3^2=9 \equiv -1 \pmod 5,\qquad 2^2=4 \equiv -1 \pmod 5.$$

   Тогда

   $$3^{70}=(3^2)^{35}\equiv (-1)^{35}\equiv -1 \pmod 5,$$

   $$2^{52}=(2^2)^{26}\equiv (-1)^{26}\equiv 1 \pmod 5.$$

   Следовательно,

   $$3^{70}+2^{52}\equiv -1+1\equiv 0 \pmod 5,$$

   значит, остаток равен $$0$$.

Ответ

1) $$2$$; 2) $$1$$; 3) $$5$$; 4) $$0$$.