Упр.27.31 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Используя сравнения по модулю, докажите, что при любом натуральном значении $$n$$ значение выражения:

1) $$17^n+25\cdot4^n$$ кратно 13;

4) $$6^{2n}+3^{n+2}+3^n$$ кратно 11;

2) $$16^n+4^{2n+1}$$ кратно 5;

5) $$17\cdot21^{2n+1}+9\cdot43^{2n+1}$$ кратно 8;

3) $$15^n+2^{3n}-30$$ кратно 7;

6) $$2^{5n+3}+5^n\cdot3^{n+2}$$ кратно 17.

Подробный ответ

$$17^n+25\cdot 4^n$$
Так как $$17\equiv 4 \pmod{13}$$ и $$25\equiv -1 \pmod{13}$$, то
$$17^n+25\cdot 4^n \equiv 4^n-4^n \equiv 0 \pmod{13}.$$
Значит, выражение кратно $$13$$.
$$16^n+4^{2n+1}$$
Поскольку $$4^{2n+1}=4^{2n}\cdot 4=(4^2)^n\cdot 4=16^n\cdot 4,$$ получаем
$$16^n+4^{2n+1}=16^n+4\cdot 16^n=5\cdot 16^n.$$
Следовательно, выражение кратно $$5$$.
$$15^n+2^{3n}-30$$
Так как $$15\equiv 1 \pmod{7}$$ и $$2^3=8\equiv 1 \pmod{7},$$ то
$$15^n+2^{3n}-30 \equiv 1^n+1^n-30 \equiv 2-30 \equiv -28 \equiv 0 \pmod{7}.$$
Значит, выражение кратно $$7$$.
$$6^{2n}+3^{n+2}+3^n$$
Преобразуем:
$$6^{2n}=(6^2)^n=36^n,\qquad 3^{n+2}=9\cdot 3^n.$$
Тогда
$$6^{2n}+3^{n+2}+3^n=36^n+10\cdot 3^n.$$
Так как $$36\equiv 3 \pmod{11},$$ то
$$36^n+10\cdot 3^n \equiv 3^n+10\cdot 3^n=11\cdot 3^n \equiv 0 \pmod{11}.$$
Следовательно, выражение кратно $$11$$.
$$17\cdot 21^{2n+1}+9\cdot 43^{2n+1}$$
По модулю $$8$$ имеем $$17\equiv 1,\; 21\equiv 5,\; 43\equiv 3.$$ Тогда
$$17\cdot 21^{2n+1}+9\cdot 43^{2n+1}\equiv 1\cdot 5^{2n+1}+1\cdot 3^{2n+1}\pmod{8}.$$
Так как $$5^2\equiv 1 \pmod{8}$$ и $$3^2\equiv 1 \pmod{8},$$ то
$$5^{2n+1}\equiv 5,\qquad 3^{2n+1}\equiv 3 \pmod{8}.$$
Следовательно,
$$5^{2n+1}+3^{2n+1}\equiv 5+3=8\equiv 0 \pmod{8}.$$
Значит, выражение кратно $$8$$.
$$2^{5n+3}+5^n\cdot 3^{n+2}$$
Преобразуем:
$$2^{5n+3}=8\cdot 32^n,\qquad 5^n\cdot 3^{n+2}=9\cdot 15^n.$$
Тогда
$$2^{5n+3}+5^n\cdot 3^{n+2}=8\cdot 32^n+9\cdot 15^n.$$
Так как $$32\equiv 15 \pmod{17},$$ то
$$8\cdot 32^n+9\cdot 15^n \equiv 8\cdot 15^n+9\cdot 15^n=17\cdot 15^n \equiv 0 \pmod{17}.$$
Следовательно, выражение кратно $$17$$.