Упр.27.30 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) 11^n +14·6^n кратно 5; 5) 5^(2n+1) +2^(n+4) +2^(n+1) кратно 23;
2) 3^(2n)+11·5^n кратно 4; 6) 3^(3n+2) +5·2^(3n+1) кратно 19;
3) 21^n +2^(2n+4) кратно 17; 7) 5^n +8^n -2^(n+1) кратно 3;
4) 4·13^n +37^n +1 кратно 6; 8) 2^(n+5)·3^(4n) +5^(3n+1) кратно 37.

1. $$11^n+14\cdot 6^n$$

   Так как $$11\equiv 6 \pmod 5,$$ то

   $$11^n\equiv 6^n \pmod 5.$$

   Тогда

   $$11^n+14\cdot 6^n\equiv 6^n+14\cdot 6^n=15\cdot 6^n \equiv 0 \pmod 5.$$

2. $$3^{2n}+11\cdot 5^n$$

   Заметим, что $$3^{2n}=9^n,$$ а $$9\equiv 1 \pmod 4.$$ Поэтому

   $$9^n\equiv 1 \pmod 4.$$

   Кроме того, $$11\equiv 3 \pmod 4,$$ значит

   $$3^{2n}+11\cdot 5^n\equiv 1+3\cdot 5^n \pmod 4.$$

   Так как $$5\equiv 1 \pmod 4,$$ то $$5^n\equiv 1 \pmod 4,$$ и потому

   $$1+3\cdot 5^n\equiv 1+3=4\equiv 0 \pmod 4.$$

3. $$21^n+2^{2n+4}$$

   Так как $$21\equiv 4 \pmod{17},$$ то

   $$21^n\equiv 4^n \pmod{17}.$$

   Также

   $$2^{2n+4}=16\cdot 4^n,$$

   поэтому

   $$21^n+2^{2n+4}\equiv 4^n+16\cdot 4^n=17\cdot 4^n\equiv 0 \pmod{17}.$$

4. $$4\cdot 13^n+37^n+1$$

   Так как $$13\equiv 1 \pmod 6$$ и $$37\equiv 1 \pmod 6,$$ то

   $$13^n\equiv 1 \pmod 6,\qquad 37^n\equiv 1 \pmod 6.$$

   Тогда

   $$4\cdot 13^n+37^n+1\equiv 4\cdot 1+1+1=6\equiv 0 \pmod 6.$$

5. $$5^{2n+1}+2^{n+4}+2^{n+1}$$

   Преобразуем:

   $$5^{2n+1}+2^{n+4}+2^{n+1}=5\cdot 25^n+16\cdot 2^n+2\cdot 2^n=5\cdot 25^n+18\cdot 2^n.$$

   Так как $$25\equiv 2 \pmod{23},$$ то

   $$25^n\equiv 2^n \pmod{23}.$$

   Следовательно,

   $$5\cdot 25^n+18\cdot 2^n\equiv 5\cdot 2^n+18\cdot 2^n=23\cdot 2^n\equiv 0 \pmod{23}.$$

6. $$3^{3n+2}+5\cdot 2^{3n+1}$$

   Имеем

   $$3^{3n+2}=9\cdot 27^n,\qquad 5\cdot 2^{3n+1}=10\cdot 8^n.$$

   Так как $$27\equiv 8 \pmod{19},$$ то

   $$27^n\equiv 8^n \pmod{19}.$$

   Тогда

   $$3^{3n+2}+5\cdot 2^{3n+1}\equiv 9\cdot 8^n+10\cdot 8^n=19\cdot 8^n\equiv 0 \pmod{19}.$$

7. $$5^n+8^n-2^{n+1}$$

   Так как $$5\equiv 2 \pmod 3$$ и $$8\equiv 2 \pmod 3,$$ то

   $$5^n\equiv 2^n \pmod 3,\qquad 8^n\equiv 2^n \pmod 3.$$

   Следовательно,

   $$5^n+8^n-2^{n+1}\equiv 2^n+2^n-2\cdot 2^n=0 \pmod 3.$$

8. $$2^{n+5}\cdot 3^{4n}+5^{3n+1}$$

   Преобразуем:

   $$2^{n+5}\cdot 3^{4n}+5^{3n+1}=32\cdot 2^n\cdot 81^n+5\cdot 125^n.$$

   Так как $$162\equiv 125 \pmod{37},$$ то

   $$162^n\equiv 125^n \pmod{37}.$$

   Но $$32\cdot 162^n=32\cdot 2^n\cdot 81^n,$$ значит

   $$32\cdot 162^n+5\cdot 125^n\equiv 32\cdot 125^n+5\cdot 125^n=37\cdot 125^n\equiv 0 \pmod{37}.$$

Ответ

1) кратно 5; 2) кратно 4; 3) кратно 17; 4) кратно 6; 5) кратно 23; 6) кратно 19; 7) кратно 3; 8) кратно 37.