Упр.27.29 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) x^2-3y^2=17; 2) 9x^2-28y=15;
3) 8x^3+7y^3=38; 4) 16x^4-5y^3=18.

Подробный ответ

$$x^2-3y^2=17$$
Тогда
$$3y^2=x^2-17,\qquad y^2=\frac{x^2-17}{3}.$$
Так как $$y^2\in \mathbb{Z},$$ то $$x^2-17$$ делится на $$3$$, то есть
$$x^2-17\equiv 0 \pmod 3.$$
Но квадрат целого числа по модулю $$3$$ может давать только остатки $$0$$ или $$1$$. Тогда
$$x^2-17\equiv x^2-2 \pmod 3,$$
а значит возможны остатки $$1$$ или $$2$$, но не $$0$$. Противоречие.
Целых решений нет.
$$9x^2-28y=15$$
Тогда
$$28y=9x^2-15,\qquad 7y=\frac{9x^2-15}{4}.$$
Так как $$y\in \mathbb{Z},$$ число $$9x^2-15$$ должно делиться на $$4$$, то есть
$$9x^2-15\equiv 0 \pmod 4.$$
По модулю $$4$$ квадрат целого числа даёт только $$0$$ или $$1$$. Тогда
$$9x^2\equiv x^2\equiv 0 \text{ или } 1 \pmod 4,$$
следовательно,
$$9x^2-15\equiv 1 \text{ или } 2 \pmod 4,$$
что не равно $$0$$. Противоречие.
Целых решений нет.
$$8x^3+7y^3=38$$
Тогда
$$7y^3=38-8x^3,\qquad y^3=\frac{38-8x^3}{7}.$$
Так как $$y\in \mathbb{Z},$$ число $$38-8x^3$$ должно делиться на $$7$$, то есть
$$38-8x^3\equiv 0 \pmod 7.$$
По модулю $$7$$ куб целого числа может давать только остатки $$0,1,6$$. Тогда
$$-8x^3\equiv -x^3 \pmod 7,$$
и возможные остатки для $$38-8x^3$$ равны
$$3,\ 2,\ 4 \pmod 7,$$
но не $$0$$. Противоречие.
Целых решений нет.
$$16x^4-5y^3=18$$
Тогда
$$5y^3=16x^4-18,\qquad y^3=\frac{16x^4-18}{5}.$$
Так как $$y\in \mathbb{Z},$$ число $$16x^4-18$$ должно делиться на $$5$$, то есть
$$16x^4-18\equiv 0 \pmod 5.$$
По модулю $$5$$ четвёртая степень целого числа даёт только $$0$$ или $$1$$. Тогда
$$16x^4\equiv x^4\equiv 0 \text{ или } 1 \pmod 5,$$
следовательно,
$$16x^4-18\equiv 2 \text{ или } 3 \pmod 5,$$
что не равно $$0$$. Противоречие.
Целых решений нет.