Упр.27.28 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) x^2-3y=8; 2) x^2-4y^3=11;
3) m^3-7n^2=19; 4) z^3-9t=16.

Подробный ответ

$$x^2-3y=8$$
$$3y=x^2-8$$
$$y=\frac{x^2-8}{3}$$
Так как $$y\in \mathbb{Z}$$, то число $$x^2-8$$ делится на $$3$$, то есть
$$x^2-8\equiv 0 \pmod 3.$$
Но квадрат целого числа по модулю $$3$$ может давать только остатки $$0$$ или $$1$$. Тогда
$$x^2-8\equiv x^2+1 \pmod 3,$$
а значит, возможны остатки $$1$$ или $$2$$, но не $$0$$. Следовательно, целых решений нет.
$$x^2-4y^3=11$$
$$4y^3=x^2-11$$
$$y^3=\frac{x^2-11}{4}$$
Так как $$y^3\in \mathbb{Z}$$, то число $$x^2-11$$ делится на $$4$$, то есть
$$x^2-11\equiv 0 \pmod 4.$$
Квадрат целого числа по модулю $$4$$ может быть только равен $$0$$ или $$1$$. Тогда
$$x^2-11\equiv x^2+1 \pmod 4,$$
то есть возможны остатки $$1$$ или $$2$$, но не $$0$$. Следовательно, целых решений нет.
$$m^3-7n^2=19$$
$$m^3=7n^2+19$$
Рассмотрим уравнение по модулю $$7$$:
$$m^3\equiv 19 \equiv 5 \pmod 7.$$
Проверим возможные остатки кубов по модулю $$7$$:
$$0^3\equiv 0,\quad 1^3\equiv 1,\quad 2^3\equiv 1,\quad 3^3\equiv 6,\quad 4^3\equiv 1,\quad 5^3\equiv 6,\quad 6^3\equiv 6 \pmod 7.$$
Остатка $$5$$ среди них нет. Значит, целых решений нет.
$$z^3-9t=16$$
$$9t=z^3-16$$
$$t=\frac{z^3-16}{9}$$
Так как $$t\in \mathbb{Z}$$, то число $$z^3-16$$ делится на $$9$$, то есть
$$z^3\equiv 16 \equiv 7 \pmod 9.$$
Проверим возможные остатки кубов по модулю $$9$$:
$$0^3\equiv 0,\ 1^3\equiv 1,\ 2^3\equiv 8,\ 3^3\equiv 0,\ 4^3\equiv 1,\ 5^3\equiv 8,\ 6^3\equiv 0,\ 7^3\equiv 1,\ 8^3\equiv 8 \pmod 9.$$
Остатка $$7$$ среди них нет. Следовательно, целых решений нет.