Упр.27.25 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Числа $$m$$ и $$n$$ таковы, что $$m^2+n^2\equiv 0 \pmod{7}$$. Докажите, что $$m\equiv 0 \pmod{7}$$ и $$n\equiv 0 \pmod{7}$$.

Из условия известно, что $$m^2+n^2\equiv 0 \pmod 7.$$

Квадраты целых чисел по модулю $$7$$ могут принимать только значения $$0,1,2,4.$$

Проверим возможные суммы двух таких остатков. Чтобы сумма двух квадратов давала остаток $$0 \pmod 7,$$ оба слагаемых должны быть кратны $$7$$, то есть

$$m^2\equiv 0 \pmod 7,\qquad n^2\equiv 0 \pmod 7.$$

Отсюда следует, что

$$m\equiv 0 \pmod 7,\qquad n\equiv 0 \pmod 7.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$m\equiv 0 \pmod 7,\quad n\equiv 0 \pmod 7.$$