Упр.27.25 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 27.25. Числа m и n таковы, что m^2 + n^2 =0 (mod 7). Докажите, что m ? 0 (mod 7) и n ? 0 (mod 7).

Из условия известно, что $$m^2+n^2\equiv 0 \pmod 7.$$

Квадраты целых чисел по модулю $7$ могут принимать только значения $$0,1,2,4.$$

Проверим возможные суммы двух таких остатков. Чтобы сумма двух квадратов давала остаток $$0 \pmod 7,$$ оба слагаемых должны быть кратны $7$, то есть

$$m^2\equiv 0 \pmod 7,\qquad n^2\equiv 0 \pmod 7.$$

Отсюда следует, что

$$m\equiv 0 \pmod 7,\qquad n\equiv 0 \pmod 7.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$m\equiv 0 \pmod 7,\quad n\equiv 0 \pmod 7.$$