Упр.27.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Числа $$a$$ и $$b$$ таковы, что $$a^2+b^2\equiv 0\pmod{3}$$. Докажите, что $$a\equiv 0\pmod{3}$$ и $$b\equiv 0\pmod{3}$$.

Из условия имеем:

$$a^2+b^2\equiv 0 \pmod{3}.$$

Квадраты целых чисел по модулю $$3$$ могут давать только остатки $$0$$ или $$1$$:

$$0^2\equiv 0 \pmod{3}, \quad 1^2\equiv 1 \pmod{3}, \quad 2^2\equiv 1 \pmod{3}.$$

Если бы хотя бы одно из чисел $$a$$ или $$b$$ не делилось на $$3$$, то его квадрат давал бы остаток $$1$$ по модулю $$3$$. Тогда сумма $$a^2+b^2$$ могла бы иметь остаток $$1$$ или $$2$$, но не $$0$$.

Значит, оба числа делятся на $$3$$:

$$a\equiv 0 \pmod{3}, \quad b\equiv 0 \pmod{3}.$$

Ответ

$$a\equiv 0 \pmod{3}, \quad b\equiv 0 \pmod{3}.$$