Упр.27.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 27.24. Числа a и b таковы, что a^2 + b^2 =0 (mod 3). Докажите, что a ? 0 (mod 3) и b ? 0 (mod 3).

Из условия имеем:

$$a^2+b^2\equiv 0 \pmod{3}.$$

Квадраты целых чисел по модулю $3$ могут давать только остатки $0$ или $1$:

$$0^2\equiv 0 \pmod{3}, \quad 1^2\equiv 1 \pmod{3}, \quad 2^2\equiv 1 \pmod{3}.$$

Если бы хотя бы одно из чисел $a$ или $b$ не делилось на $3$, то его квадрат давал бы остаток $1$ по модулю $3$. Тогда сумма $a^2+b^2$ могла бы иметь остаток $1$ или $2$, но не $0$.

Значит, оба числа делятся на $3$:

$$a\equiv 0 \pmod{3}, \quad b\equiv 0 \pmod{3}.$$

Ответ

$$a\equiv 0 \pmod{3}, \quad b\equiv 0 \pmod{3}.$$