Упр.27.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что куб целого числа при делении на $$9$$ дает в остатке $$0$$, $$1$$ или $$8$$.

Для любого целого числа $$n$$ возможны только остатки при делении на $$9$$:

$$n \equiv 0,1,2,3,4,5,6,7,8 \pmod 9.$$

Возведём все эти остатки в куб:

$$0^3 \equiv 0 \pmod 9,\quad 1^3 \equiv 1 \pmod 9,\quad 2^3=8 \equiv 8 \pmod 9,$$
$$3^3=27 \equiv 0 \pmod 9,\quad 4^3=64 \equiv 1 \pmod 9,\quad 5^3=125 \equiv 8 \pmod 9,$$
$$6^3=216 \equiv 0 \pmod 9,\quad 7^3=343 \equiv 1 \pmod 9,\quad 8^3=512 \equiv 8 \pmod 9.$$

Значит, куб любого целого числа при делении на $$9$$ может давать только остатки $$0$$, $$1$$ или $$8$$.

Ответ

При делении куба целого числа на $$9$$ возможны только остатки $$0$$, $$1$$ или $$8$$.