Упр.27.22 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 27.22. Докажите, что куб целого числа при делении на 7 дает в остатке 0, 1 или 6.

Пусть $$n$$ — целое число. Тогда при делении на $$7$$ оно может давать один из остатков:

$$n \equiv 0,1,2,3,4,5,6 \pmod{7}.$$

Возведём все возможные остатки в куб:

$$0^3 \equiv 0 \pmod{7}, \quad 1^3 \equiv 1 \pmod{7}, \quad 2^3=8 \equiv 1 \pmod{7},$$
$$3^3=27 \equiv 6 \pmod{7}, \quad 4^3=64 \equiv 1 \pmod{7}, \quad 5^3=125 \equiv 6 \pmod{7}, \quad 6^3=216 \equiv 6 \pmod{7}.$$

Значит, для любого целого числа $$n$$ число $$n^3$$ при делении на $$7$$ может давать только остатки $$0$$, $$1$$ или $$6$$.

Ответ

При делении куба целого числа на $$7$$ возможны только остатки $$0$$, $$1$$ или $$6$$.