Упр.27.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 27.21. Докажите, что квадрат нечетного числа при делении на 8 дает в остатке 1.

Любое нечётное число можно записать в виде $$2n+1$$. Тогда по модулю $$8$$ оно может иметь один из четырёх остатков:

$$2n+1 \equiv 1 \pmod{8}, \quad 2n+1 \equiv 3 \pmod{8}, \quad 2n+1 \equiv 5 \pmod{8}, \quad 2n+1 \equiv 7 \pmod{8}.$$

Возведём каждое из этих сравнений в квадрат:

$$ (2n+1)^2 \equiv 1 \pmod{8}, \\ (2n+1)^2 \equiv 9 \pmod{8}, \\ (2n+1)^2 \equiv 25 \pmod{8}, \\ (2n+1)^2 \equiv 49 \pmod{8}. $$

Но

$$9 \equiv 1 \pmod{8}, \quad 25 \equiv 1 \pmod{8}, \quad 49 \equiv 1 \pmod{8}.$$

Значит, во всех случаях

$$ (2n+1)^2 \equiv 1 \pmod{8}. $$

Следовательно, квадрат нечётного числа при делении на $$8$$ даёт остаток $$1$$.

Ответ

Квадрат нечётного числа при делении на $$8$$ даёт остаток $$1$$.