Упр.27.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 27.20. Докажите, что квадрат целого числа при делении на 4 дает в остатке 0 или 1.

Любое целое число $$n$$ при делении на $$4$$ даёт один из четырёх остатков:

$$n \equiv 0 \pmod{4}, \quad n \equiv 1 \pmod{4}, \quad n \equiv 2 \pmod{4}, \quad n \equiv 3 \pmod{4}.$$

Возведём каждое из этих сравнений в квадрат:

$$n^2 \equiv 0 \pmod{4},$$

$$n^2 \equiv 1 \pmod{4},$$

$$n^2 \equiv 4 \pmod{4},$$

$$n^2 \equiv 9 \pmod{4}.$$

Так как $$4 \equiv 0 \pmod{4}$$ и $$9 \equiv 1 \pmod{4},$$ то для любого целого $$n$$ получаем:

$$n^2 \equiv 0 \pmod{4} \quad \text{или} \quad n^2 \equiv 1 \pmod{4}.$$

Значит, квадрат целого числа при делении на $$4$$ даёт в остатке только $$0$$ или $$1$$.

Ответ

Остаток при делении квадрата целого числа на $$4$$ может быть равен только $$0$$ или $$1$$.