Упр.27.19 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Докажите, что квадрат целого числа при делении на 3 даёт в остатке 0 или 1.

При делении любого целого числа на $$3$$ возможны только три остатка: $$0$$, $$1$$ или $$2$$. Значит, для любого целого $$n$$ имеем одно из сравнений:

$$n \equiv 0 \pmod{3}, \quad n \equiv 1 \pmod{3}, \quad n \equiv 2 \pmod{3}.$$

Возведём обе части каждого сравнения в квадрат:

$$n^2 \equiv 0 \pmod{3},$$

$$n^2 \equiv 1 \pmod{3},$$

$$n^2 \equiv 4 \pmod{3}.$$

Так как $$4 \equiv 1 \pmod{3},$$ то последнее сравнение можно заменить на

$$n^2 \equiv 1 \pmod{3}.$$

Следовательно, квадрат любого целого числа при делении на $$3$$ даёт остаток либо $$0$$, либо $$1$$.

Ответ

При делении квадрата целого числа на $$3$$ возможны только остатки $$0$$ и $$1$$.