Упр.27.19 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 27.19. Докажите, что квадрат целого числа при делении на 3 дает в остатке 0 или 1.

При делении любого целого числа на $3$ возможны только три остатка: $0$, $1$ или $2$. Значит, для любого целого $n$ имеем одно из сравнений:

$$n \equiv 0 \pmod{3}, \quad n \equiv 1 \pmod{3}, \quad n \equiv 2 \pmod{3}.$$

Возведём обе части каждого сравнения в квадрат:

$$n^2 \equiv 0 \pmod{3},$$

$$n^2 \equiv 1 \pmod{3},$$

$$n^2 \equiv 4 \pmod{3}.$$

Так как $$4 \equiv 1 \pmod{3},$$ то последнее сравнение можно заменить на

$$n^2 \equiv 1 \pmod{3}.$$

Следовательно, квадрат любого целого числа при делении на $3$ даёт остаток либо $0$, либо $1$.

Ответ

При делении квадрата целого числа на $3$ возможны только остатки $0$ и $1$.