Упр.27.14 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 27.14. Число m дает равные остатки при делении на 3 и на 4. Чему может быть равным остаток при делении числа m на 12?

Пусть при делении числа $$m$$ на $$3$$ и на $$4$$ получаются одинаковые остатки $$r$$. Тогда

$$m=3a+r,\qquad m=4b+r,$$

где $$r$$ — общий остаток.

Умножим первое равенство на $$4$$, а второе — на $$3$$:

$$4m=12a+4r,$$

$$3m=12b+3r.$$

Вычтем второе равенство из первого:

$$m=4m-3m=(12a+4r)-(12b+3r)=12(a-b)+r.$$

Значит, при делении числа $$m$$ на $$12$$ остаток также равен $$r$$.

Так как общий остаток при делении на $$3$$ и на $$4$$ может быть только $$0$$, $$1$$ или $$2$$, то и при делении на $$12$$ возможны только эти остатки.

Ответ

$$0,\ 1,\ 2$$