Упр.269 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Можно ли утверждать, что при любом натуральном $$n$$ значение выражения $$(5n+6{,}5)^2-(2n+0{,}5)^2$$ кратно 42?

Преобразуем выражение по формуле разности квадратов:

$$(5n+6{,}5)^2-(2n+0{,}5)^2$$

$$=(5n+6{,}5-(2n+0{,}5))(5n+6{,}5+(2n+0{,}5))$$

$$=(3n+6)(7n+7)=3(n+2)\cdot 7(n+1)=21(n+2)(n+1).$$

Среди двух последовательных натуральных чисел $$n+1$$ и $$n+2$$ одно обязательно чётное, значит произведение $$(n+1)(n+2)$$ кратно $$2$$.

Тогда выражение $$21(n+1)(n+2)$$ кратно $$21\cdot 2=42$$.

Ответ

Да, при любом натуральном $$n$$ данное выражение кратно $$42$$.