Упр.26.36 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Дан многочлен $$P(x)$$ с целыми коэффициентами. Разные числа $$a$$, $$b$$ и $$c$$ таковы, что $$P(a)=P(b)=P(c)=-1$$. Докажите, что не существует такого $$x_0\in\mathbb{Z}$$, что $$P(x_0)=0$$.

Подробный ответ

Предположим, что существует такое целое число $$x_0,$$ что $$P(x_0)=0.$$

Так как коэффициенты многочлена $$P(x)$$ целые, то для любого целого числа $$n$$ значение $$P(n)$$ тоже целое. Тогда

$$P(x_0)-P(a)=0-(-1)=1,\\ P(x_0)-P(b)=0-(-1)=1,\\ P(x_0)-P(c)=0-(-1)=1.$$

Но для многочлена с целыми коэффициентами разность $$P(x_0)-P(a)$$ делится на $$x_0-a,$$ разность $$P(x_0)-P(b)$$ делится на $$x_0-b,$$ а разность $$P(x_0)-P(c)$$ делится на $$x_0-c.$$ Значит, числа $$x_0-a,$$ $$x_0-b,$$ $$x_0-c$$ являются делителями числа $$1.$$

У числа $$1$$ только два целых делителя: $$1$$ и $$-1.$$ Следовательно, каждое из чисел $$x_0-a,$$ $$x_0-b,$$ $$x_0-c$$ равно либо $$1,$$ либо $$-1.$$ Но тогда среди чисел $$a,b,c$$ не может быть трёх различных значений, что противоречит условию.

Значит, такого целого числа $$x_0,$$ для которого $$P(x_0)=0,$$ не существует.