Упр.26.35 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Дано $$19$$-значное число, десятичная запись которого не содержит нулей. Докажите, что в записи этого числа можно зачеркнуть несколько цифр так, чтобы полученное в результате число было кратным числу $$111$$.

Чтобы число, полученное после вычеркивания некоторых цифр, делилось на $$111,$$ достаточно получить в его записи три одинаковые цифры.

Действительно, если оставить, например, три одинаковые цифры $$a,$$ то получится число

$$aaa=100a+10a+a=111a.$$

Такое число кратно $$111,$$ так как

$$111a:111=a.$$

В 19-значном числе, десятичная запись которого не содержит нулей, можно выбрать три одинаковые цифры и вычеркнуть остальные 16 цифр. Тогда полученное число будет кратно $$111.$$

Ответ

Можно вычеркнуть 16 цифр так, чтобы осталось число вида $$aaa,$$ а значит, оно кратно $$111.$$