Упр.26.32 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 26.32. Дан многочлен P(x) с целыми коэффициентами. Известно, что P(2) ? 5 и P(5) ? 2. Докажите, что P(7) ? 10.

Для многочлена с целыми коэффициентами разность значений при целых аргументах делится на разность аргументов. Поэтому

$$P(7)-P(2) \text{ делится на } 7-2=5,$$
$$P(7)-P(5) \text{ делится на } 7-5=2.$$

По условию $$P(2)\equiv 5 \pmod{5}$$ и $$P(5)\equiv 2 \pmod{2}.$$ Тогда

$$P(7)\equiv 5 \pmod{5},$$
$$P(7)\equiv 2 \pmod{2}.$$

Значит, число $$P(7)$$ при делении на $$5$$ даёт остаток $$5$$, а при делении на $$2$$ — остаток $$2$$. Следовательно, $$P(7)$$ делится на $$10$$.

Ответ

$$P(7) \text{ делится на } 10.$$