Упр.26.31 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 26.31. Докажите, что количество делителей квадрата натурального числа — число нечетное. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Пусть $$n$$ — натуральное число. Рассмотрим делители числа $$n^2$$.

Если $$d$$ — делитель числа $$n^2$$, то число $$\dfrac{n^2}{d}$$ тоже является его делителем. При этом делители можно разбить на пары

$$\left(d;\dfrac{n^2}{d}\right).$$

Все делители, кроме $$d=n$$, входят в такие пары. Но для квадрата числа $$n$$ выполняется

$$n=\dfrac{n^2}{n},$$

то есть делитель $$n$$ не образует пару с другим, а составляет «середину» списка делителей. Значит, число делителей квадрата натурального числа нечётно.

Докажем обратное утверждение: если число делителей натурального числа нечётно, то это число является квадратом натурального числа.

Пусть число $$m$$ имеет нечётное количество делителей. Тогда все его делители, кроме одного, можно разбить на пары вида

$$\left(d;\dfrac{m}{d}\right).$$

Непарным остаётся только делитель, для которого

$$d=\dfrac{m}{d},$$

откуда

$$d^2=m.$$

Следовательно, $$m$$ — квадрат натурального числа.

Ответ

Количество делителей квадрата натурального числа нечётно. Обратное утверждение тоже верно: если у натурального числа нечётное количество делителей, то это число является квадратом натурального числа.