Упр.26.30 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

На какую наибольшую степень числа $$2$$ может делиться нацело значение выражения $$3^{2n+1}+1$$ при $$n\in\mathbb{N}$$?

Рассмотрим выражение:

$$3^{2n+1}+1.$$

Представим его так:

$$3^{2n+1}+1=(3+1)\left(3^{2n}-3^{2n-1}+3^{2n-2}-\dots-3+1\right).$$

Тогда

$$3^{2n+1}+1=4\left(3^{2n}-3^{2n-1}+3^{2n-2}-\dots-3+1\right).$$

В скобках стоит сумма нечётного числа нечётных слагаемых, значит, она нечётна. Следовательно, всё выражение делится на $$4=2^2$$, но не делится на $$8$$.

Значит, наибольшая степень числа $$2$$, на которую делится значение выражения, равна $$2^2$$.

Ответ

$$2^2$$