Упр.26.26 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Натуральные числа $$m$$ и $$n$$ таковы, что $$n^2 ? (m+n)$$. Докажите, что $$m^3 ? (m+n)$$.

Из условия известно, что $$n^2 : (m+n).$$ Тогда и $$n^3 : (m+n),$$ так как если число делится на $$m+n,$$ то и его произведение на натуральное число тоже делится на $$m+n.$$

Рассмотрим сумму:

$$m^3+n^3=(m+n)(m^2-mn+n^2).$$

Следовательно, $$m^3+n^3 : (m+n).$$

Так как $$n^3 : (m+n),$$ то по свойству делимости из делимости суммы и одного слагаемого получаем делимость другого слагаемого:

$$m^3=(m^3+n^3)-n^3 : (m+n).$$

Значит, $$m^3 : (m+n).$$ Что и требовалось доказать.

Ответ

$$m^3 : (m+n).$$