Упр.26.28 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 26.28. Трехзначное число ?abc кратно числу 37. Докажите, что сумма чисел ?bca и ?cab также кратна числу 37.

Обозначим трёхзначное число abc. Тогда

$$ \overline{abc}=100a+10b+c,\quad \overline{bca}=100b+10c+a,\quad \overline{cab}=100c+10a+b. $$

Сложим эти числа:

$$ \overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab} = (100a+10b+c)+(100b+10c+a)+(100c+10a+b) $$
$$ =111a+111b+111c=111(a+b+c). $$

Так как по условию число abc кратно $37$, то

$$ \overline{abc}\equiv 0 \pmod{37}. $$

Кроме того, $111=3\cdot 37$, значит, число $111(a+b+c)$ также кратно $37$. Тогда и разность

$$ \overline{bca}+\overline{cab} = \bigl(\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}\bigr)-\overline{abc} $$

кратна $37$, так как из двух чисел, кратных $37$, их разность тоже кратна $37$.

Ответ

$$\overline{bca}+\overline{cab}$$ кратна числу $37$.