Упр.26.28 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Трехзначное число $$?abc$$ кратно числу $$37$$. Докажите, что сумма чисел $$?bca$$ и $$?cab$$ также кратна числу $$37$$.

Обозначим трёхзначное число abc. Тогда

$$\overline{abc}=100a+10b+c,\quad \overline{bca}=100b+10c+a,\quad \overline{cab}=100c+10a+b.$$

Сложим эти числа:

$$\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab} = (100a+10b+c)+(100b+10c+a)+(100c+10a+b)$$
$$=111a+111b+111c=111(a+b+c).$$

Так как по условию число abc кратно $$37$$, то

$$\overline{abc}\equiv 0 \pmod{37}.$$

Кроме того, $$111=3\cdot 37$$, значит, число $$111(a+b+c)$$ также кратно $$37$$. Тогда и разность

$$\overline{bca}+\overline{cab} = \bigl(\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}\bigr)-\overline{abc}$$

кратна $$37$$, так как из двух чисел, кратных $$37$$, их разность тоже кратна $$37$$.

Ответ

$$\overline{bca}+\overline{cab}$$ кратна числу $$37$$.