Упр.26.27 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Натуральные числа $$a$$ и $$b$$ таковы, что $$a^3 ? (a^2+b^2)$$. Докажите, что $$b^4 ? (a^2+b^2)$$.

Из условия известно, что $$a^3 \mid (a^2+b^2).$$ Тогда, так как $$a \mid a^3,$$ получаем и $$a \mid (a^2+b^2).$$

Но $$a^2 \mid a^2+b^2$$ не следует, поэтому рассмотрим разность:

$$a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2).$$

Так как $$a^3 \mid (a^2+b^2),$$ то и $$a^4 \mid a(a^2+b^2).$$ Следовательно, выражение $$a^4-b^4$$ делится на $$a^2+b^2$$, а значит, по свойству делимости

$$b^4 \mid (a^2+b^2).$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$b^4 \mid (a^2+b^2).$$