Упр.26.25 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Числа $$x$$ и $$y$$ таковы, что $$3x+10y\ ?\ 13$$. Докажите, что $$(3x+10y)(3y+10x)\ ?\ 169$$.

Обозначим

$$a=3x+10y,\quad b=3y+10x.$$

Тогда

$$a+b=(3x+10y)+(3y+10x)=13x+13y=13(x+y).$$

По условию $$a=3x+10y$$ делится на $$13$$. Значит, и сумма $$a+b=13(x+y)$$ делится на $$13$$, поэтому число $$b$$ тоже делится на $$13$$:

$$b=(a+b)-a.$$

Следовательно, оба множителя $$a$$ и $$b$$ кратны $$13$$, а значит, их произведение кратно $$13\cdot 13=169$$:

$$ab=(3x+10y)(3y+10x) \text{ делится на } 169.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$(3x+10y)(3y+10x) \text{ делится на } 169.$$