Упр.26.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Докажите, что при любых нечётных натуральных значениях $$n$$, $$n>1$$, значение выражения $$1^n+2^n+3^n+?+99^n$$ кратно 100.

Сгруппируем слагаемые попарно:

$$1^n+2^n+3^n+\dots+99^n=(1^n+99^n)+(2^n+98^n)+\dots+(49^n+51^n)+50^n.$$

Рассмотрим любую пару $$k^n+(100-k)^n$$, где $$k=1,2,\dots,49$$. Так как $$n$$ — нечётное, то

$$(100-k)^n=(100-k)^n.$$

Раскроем по биному Ньютона:

$$(100-k)^n=(100-k)^n$$

и заметим, что в разложении суммы $$k^n+(100-k)^n$$ все слагаемые, кроме крайних, содержат множитель $$100$$. Поэтому

$$k^n+(100-k)^n \text{ кратно } 100.$$

Значит, сумма всех таких пар кратна $$100$$. Осталось учесть средний член $$50^n$$. Так как $$n>1$$ и $$n$$ нечётное, то $$50^n$$ делится на $$100$$, потому что

$$50^n=50\cdot 50^{\,n-1},$$

а при $$n-1\ge 2$$ множитель $$50^{\,n-1}$$ содержит ещё один множитель $$50$$, следовательно, $$50^n$$ делится на $$100$$.

Итак, вся сумма кратна $$100$$.

Ответ

$$1^n+2^n+3^n+\dots+99^n$$ кратно $$100$$ при любых нечётных натуральных $$n>1$$.