Упр.26.19 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Докажите, что при любых нечётных натуральных значениях $$n$$ значение выражения $$1^n+2^n+3^n+?+9^n$$:

1. кратно 5;
2. не кратно 10.

Рассмотрим сумму

$$1^n+2^n+3^n+\dots+9^n.$$

Так как $$n$$ — нечётное натуральное число, сгруппируем слагаемые попарно:

$$(1^n+9^n)+(2^n+8^n)+(3^n+7^n)+(4^n+6^n)+5^n.$$

Для нечётного $$n$$ имеем:

$$1^n+9^n=(1+9)\bigl(1^{n-1}-1^{n-2}\cdot 9+\dots-9^{n-1}\bigr),$$
$$2^n+8^n=(2+8)\bigl(2^{n-1}-2^{n-2}\cdot 8+\dots-8^{n-1}\bigr),$$
$$3^n+7^n=(3+7)\bigl(3^{n-1}-3^{n-2}\cdot 7+\dots-7^{n-1}\bigr),$$
$$4^n+6^n=(4+6)\bigl(4^{n-1}-4^{n-2}\cdot 6+\dots-6^{n-1}\bigr).$$

Поскольку $$1+9=2+8=3+7=4+6=10,$$ получаем, что все эти суммы кратны $$10$$, а значит, кратны и $$5$$. Тогда вся сумма имеет вид

$$10\cdot k+5^n,$$

где $$k$$ — целое число.

1) Так как $$10\cdot k$$ кратно $$5$$ и $$5^n$$ тоже кратно $$5$$, то вся сумма кратна $$5$$.

2) При нечётном $$n$$ число $$5^n$$ оканчивается на $$5$$, значит, не делится на $$10$$. Следовательно, и вся сумма не кратна $$10$$.

Ответ

1) Кратно $$5$$; 2) не кратно $$10$$.